સાબિત કરો કે નીચેની સંખ્યા અસંમેય છે: $3+2\sqrt{5}$

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$3+2\sqrt{5}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $3+2\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા,આપણને $2\sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3$ મળે છે.
જમણી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા,$2\sqrt{5} = \frac{a-3b}{b}$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a-3b}{2b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a-3b}{2b}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $3+2\sqrt{5}$ સંમેય છે તે ખોટી છે.
આમ,$3+2\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.